Nachdem wir uns damit beschäftigt haben, was ein Eigenwert und ein Eigenvektor eines Endomorphismus

ist und das Ganze theoretisch schon verstanden haben und auch den Zusammenhang zum charakteristischen

Polynom gesehen haben, dass es uns ermöglicht, Eigenwerte zu bestimmen durch das Ausrechnen von

Nullstellen. Da haben wir das geometrische Problem dann übersetzt in ein algebraisches Problem.

Diese gesamte Theorie haben wir uns jetzt schon mal ein bisschen verdeutlicht und jetzt soll es

auch mal konkret darum gehen, Eigenwerte auszurechnen, damit sie ein Gefühl dafür

bekommen, worauf man dabei achten muss und wie das Ganze in der Praxis funktioniert.

In diesem Video werden wir nur Eigenwerte bestimmen. Die Bestimmung von Eigenvektoren

erhält ein eigenes Video. Es soll jetzt wirklich erstmal nur um die Bestimmung dieser Skalare gehen.

Das heißt, das Thema heute wird es sein Eigenwertbestimmung und wir werden uns heute

vor allem mit Matrizen beschäftigen als Repräsentation von Endomorphismen. Wie wir schon

gesehen haben, ist das eine äquivalente Formulierung. Das heißt, wir starten einfach direkt mal mit

einem anschaulichen Beispiel. Ich nehme eine kleine Matrix, da dort die Bestimmung der Nullstellen

relativ leicht geht. Das heißt, wir machen jetzt erstmal zum Anfang ein motivierendes Beispiel,

das wir dann verallgemeinern werden. Und zwar geben uns eine Matrix vor, die nur 2 Kreuz 2 ist.

Also sei A aus 2 Kreuz 2 der folgenden Gestalt, eine quadratische Matrix. Wie wollen wir uns das A

definieren? Ich habe mir ein Beispiel überlegt der folgenden Art. Ich schreibe mal blau die Matrix.

A ist hier definiert als minus 9, minus 3 in der ersten Zeile und 16 und 5 in der zweiten Zeile.

Und wir interessieren uns für die Eigenwerte von A. Das heißt, wir wollen die Eigenwerte

von A bestimmen. Die erste Überlegung, die wir machen, ist, wie viele Eigenwerte kann es überhaupt

geben. Wir haben auch das letzte Mal schon gesehen, wie sich algebraische und geometrische

Vielfachheiten verhalten. Und da wir wissen, das charakteristische Polynom hat grad 2,

da wir n gleich 2 hier gewählt haben, kann es hier auch maximal zwei Eigenwerte geben.

Wann dies der Fall ist, wann diese verschieden sind und wann es überhaupt Eigenwerte gibt,

das werden wir jetzt hoffentlich in diesem Video alles ergründen. Das heißt, zu allererst mal

haben wir gesehen, um Eigenwerte zu bestimmen, können wir das charakteristische Polynom betrachten,

dieser Matrix A. Das wollen wir zuerst machen. Das heißt, erster Schritt bestimme das

charakteristische Polynom. Ich kippe das hier ab. Das hatten wir notiert als P A mit einer freien

Variable T. Und wie sieht das Ganze aus? Naja, wir können definieren P A ausgewertet an der

Stelle T. Das war nach Definition im letzten Video die Determinante von A minus der freien

Variable T mal der Einheitsmatrix in zwei Dimensionen. Na gut, dann können wir das einfach mal

hinschreiben. Wie war unsere Matrix da oben definiert? Da minus 9, minus 3, 16 und 5. Das

heißt, wir haben jetzt hier die Determinante muss sein minus 9, minus T. Das heißt, hier auf der

Diagonal ziehe ich einfach nur ein T ab. Minus 3, 16 und 5 minus T. Naja, und wir haben gesagt,

wann wissen wir, ob ein Eigenwert vorliegt? Die Determinante sollte 0 sein. Das heißt,

wir müssen jetzt hier irgendwie hinbekommen, dass wir hier eine 0 erhalten. Okay, jetzt ist es hier

relativ leicht, die Determinante einer 2 Kreuz 2 Matrix zu bestimmen. Was wir dafür machen, ist,

wir verwenden die einfache geschlossene Form der Determinante von 2 Kreuz 2 Matrizen, die uns einfach

nur sagt, wir können die Determinante bestimmen als Determinante von minus 9, minus T, minus 3,

16 und 5 minus T. Was war da Idee? Die Idee ist, dass wir die Hauptdiagonalelemente multiplizieren

als Einsummand und dann ziehen wir die Querdiagonale als Produkt wieder ab. Das heißt,

zur Bestimmung der Determinante multiplizieren wir diese beiden Terme und ziehen die grün markierten

Termenprodukte davon ab. Nur als Erinnerung, das werde ich in Zukunft nicht mehr so ausführlich

machen. Das heißt, wir erhalten hier ein minus 9, minus T, multipliziert mit 5 minus T. Das ist

sozusagen der blaue Block, den wir hier haben und davon ziehen wir ab. Eben die Querdiagonale,

das ist dann minus 3 mal 16 und wir erhalten, wenn wir das Ganze dann ausrechnen, ein Polynomen der

folgenden Form. Wir erhalten T² plus 4T plus 3. Jetzt haben wir schon gesagt, okay, jetzt haben wir

ein quadratisches Polynomen bekommen, dessen Nullstellen wir bestimmen möchten. Es ist ja

nicht immer klar, ob dieses Polynomen überhaupt Nullstellen hat und wenn es welche Art wie viele,

sprich, welche Vielfachheiten diese Nullstellen haben, das werden wir im nächsten Schritt